25-1. 画像のフーリエ変換で遊んでみた（Pythonコードあり）

画像処理

2021/05/04

やること
実行環境
参考文献
使用した画像
コード
FFT画像と周波数成分の関係
周波数成分のカット
おわりに

やること

あらゆる波形や模様は複数の波の合成によって表現できると考え、素材となっている波の周波数成分を求める方法をフーリエ変換と呼びます。Pythonにもフーリエ変換の関数が用意されていますので、画像のフーリエ変換を試してみましょう。

実行環境

WinPython3.6をおすすめしています。

WinPython - Browse /WinPython_3.6/3.6.7.0 at SourceForge.net

Portable Scientific Python 2/3 32/64bit Distribution for Windows

Google Colaboratoryが利用可能です。

Google Colab

参考文献

画像に対する高速フーリエ変換関数 np.fft.fft2() の使い方についてはこちらをご参照ください。

フーリエ変換 — OpenCV-Python Tutorials 1 documentation

また、こちらのサイトでは画像とスペクトル空間の関係が視覚的・直感的に分かります。

https://monman53.github.io/demos/2dfft/

こちらの動画もわかりやすいです。

２次元フーリエ変換／逆変換の解説 Two-dimensional Fourier Transform Demo

使用した画像

御年70歳のレナ・ソーダバーグさんをお借りします。

コード

まず、フーリエ変換と逆フーリエ変換の関数です。

#フーリエ変換
def FFT(img):
    #フーリエ変換
    fimg = np.fft.fft2(img)
    fimg = np.fft.fftshift(fimg) #低周波成分を中央に寄せる
    #符号を保ったまま対数処理
    real = fimg.real
    real[real>0] = np.log10(real[real>0])
    real[real<0] = -np.log10(-real[real<0])
    imag = fimg.imag
    imag[imag>0] = np.log10(imag[imag>0])
    imag[imag<0] = -np.log10(-imag[imag<0])
    return real, imag

#逆フーリエ変換
def IFFT(real, imag):
    #符号を保ったまま指数処理
    real[real>0] = 10**real[real>0]
    real[real<0] = -10**(-real[real<0])
    imag[imag>0] = 10**imag[imag>0]
    imag[imag<0] = -10**(-imag[imag<0])
    #複素数行列
    fimg = np.zeros(real.shape, np.complex128)
    fimg.real = real
    fimg.imag = imag
    #逆フーリエ変換
    fimg = np.fft.ifftshift(fimg)
    img = np.fft.ifft2(fimg)
    img = img.real
    img = img.clip(0, 255).astype(np.uint8)
    return img

グレースケール画像をフーリエ変換すると複素数行列が得られ、これは実部行列と虚部行列の２チャンネルから成ります。それぞれの型は以下のようです。

行列	コード中の変数名	ndarray型
複素数行列	fimg	np.complex128
実部（fimg.real）	real	np.float64
虚部（fimg.imag）	imag	np.float64

逆フーリエ変換については単純に逆のことをしているだけです。

次に、普通の画像の表示関数と、FFT画像（＝周波数成分の画像。呼び方合っていますか？）の表示関数です。FFT画像の表示については、実部行列と虚部行列の２つをどうやって可視化すれば良いか戸惑います。ここでは複素数型np.complex128に格納してから絶対値を取ることで画像らしく表示させています。この処理には他の流派もあるそうですが、可視化できれば何でも構わないと思います。

#画像の表示関数
def show(img):
    plt.figure()
    plt.imshow(img)
    plt.gray()
    plt.show()

#FFT画像の表示関数
def showfft(real, imag):
    fimg = np.zeros(real.shape, np.complex128)
    fimg.real = real
    fimg.imag = imag
    img = np.abs(fimg)
    plt.figure()
    plt.imshow(img)
    plt.gray()
    plt.show()

では、レナさんをフーリエ変換してそのまま逆フーリエ変換してみましょう。

#グレースケール読み込み
img = cv2.imread('25-1_sample.png', 0)
show(img)

#フーリエ変換
real, imag = FFT(img)
showfft(real, imag)

#逆フーリエ変換
img = IFFT(real, imag)
show(img)