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8-8. vcoptでRastrigin関数に挑む(実数値GA編)

本記事の内容は2019年5月13日に更新されました。

やること

実数値GAの難関、Rastrigin関数を最適化します。これができれば、どんな実数値(連続値)の最適化問題も大丈夫でしょう。

実行環境

WinPython3.6をおすすめしています。

WinPython - Browse /WinPython_3.6/3.6.7.0 at SourceForge.net
Portable Scientific Python 2/3 32/64bit Distribution for Windows

vcoptの使い方についてはチュートリアルをご参照ください。

vcoptの仕様については最新の仕様書をご参照ください。本記事執筆時とは仕様が異なる場合があります。

import

まずは、今回使うパッケージをインポートします。今回はmathも使います。

import math
import numpy as np
import numpy.random as nr
import matplotlib.pyplot as plt
from vcopt import vcopt

Rastrigin関数とは

非常に多くの局所解をもつ多峰性の関数です。最適化アルゴリズムのラスボス的存在。解空間の形状は以下をご参考ください。

Rastrigin function - Wikipedia

めっちゃギザギザしてます。便利なことに、何次元にも拡張して使えます。

1変数のRastrigin関数(=パラメータが1個(x)のとき)はこちら。xは-5.12~+5.12の範囲を取り得ます。

f = 10 + (x^2 - 10*cos(2πx))

2変数のRastrigin関数(=パラメータが2個(x, y)のとき)はこちら。(x, y)はそれぞれ-5.12~+5.12の範囲を取り得ます。

f = 10 + (x^2 - 10*cos(2πx)) + 10 + (y^2 - 10*cos(2πy))

n変数のRastrigin関数では、同様にパラメータの分だけ足してやれば良いです。n個のパラメータはそれぞれ-5.12~+5.12の範囲を取り得ます。

#Rastrigin関数(評価関数)
def rastrigin_score(para):
    k = 0
    for x in para:
        k += 10 + (x*x - 10 * math.cos(2*math.pi*x))
    return k

これを評価関数とします。

大域解

すべてのパラメータが0のとき、Rastrigin関数は最低値0を返します。

(任意)すべてのパラメータ群を可視化する関数

poolを受け取って、次元ごとに集団のパラメータをプロットします。

#poolの可視化
def rastrigin_show_pool(pool, **info):
    
    #GA中の諸情報はinfoという辞書に格納されて渡されます
    #これらを受け取って使用することができます
    gen = info['gen']
    best_index = info['best_index']
    best_score = info['best_score']
    mean_score = info['mean_score']
    mean_gap = info['mean_gap']
    time = info['time']
    
    #プロット
    plt.figure(figsize=(6, 6))
    #次元の数だけ横線を引く
    for dim in range(len(pool[0])):
        plt.plot([-5, 5], [dim, dim], 'k-')
    #poolを次元ごとに100個まで薄い黒でプロット
    for dim in range(len(pool[0])):
        plt.plot(pool[:100, dim], [dim]*len(pool[:100]), 'ok', markersize=8, alpha=(2.0/len(pool[:100])))
    #エリートは赤でプロット
    plt.plot(pool[best_index, :], range(len(pool[0])), 'or', markersize=8)
    #タイトルをつけて表示
    plt.xlabel('para'); plt.ylabel('dim')
    plt.title('gen={}, best={} mean={} time={}'.format(gen, best_score, mean_score, time))
    #plt.savefig('save/{}.png'.format(gen_num))
    plt.show()
    print()

GAで最適化

実数値のGA(連続的なGA)はvcopt().rcGA()で実行します。まずは5次元のパラメータでやってみましょう。

#パラメータ範囲
para_range = np.ones((5, 2)) * 5.12
para_range[:, 0] *= -1
print(para_range)

#GAで最適化
para, score = vcopt().rcGA(para_range,                           #para_range
                            rastrigin_score,                     #score_func
                            0.0,                                 #aim
                            show_pool_func=rastrigin_show_pool,  #show_para_func=None
                            seed=None)                           #seed=None

#結果の表示
print(para)
print(score)

実行結果

[[-5.12  5.12]
 [-5.12  5.12]
 [-5.12  5.12]
 [-5.12  5.12]
 [-5.12  5.12]]
[ 0.00028274  0.00031257  0.00045897 -0.00018493 -0.00026573]
9.782879609154804e-05

縦軸が次元です。5つのパラメータがすべて0付近となり、最適解は限りなく0に近い値です。vcopt().rcGA()では、計算効率を優先し、ほどほどの精度で計算を止めています。より厳密な解(0.0000000000000000000)に近づけたい場合は、続きから最急降下法などで頑張ってください。(2019/03/24現在、そこまでの実装を検討中です)

15次元

15次元でやってみましょう。

#パラメータ範囲
para_range = np.ones((15, 2)) * 5.12
para_range[:, 0] *= -1

#GAで最適化
para, score = vcopt().rcGA(para_range,                           #para_range
                            rastrigin_score,                     #score_func
                            0.0,                                 #aim
                            show_pool_func=rastrigin_show_pool,  #show_para_func=None
                            seed=None)                           #seed=None

#結果の表示
print(para)
print(score)

実行結果

[-0.00019     0.00007974  0.00025465 -0.00047748 -0.00066942  0.00006996  0.00010788  0.00132598 -0.00040485 -0.00018067 -0.00044289 -0.00009191  0.00004059 -0.00083162  0.00126541]
0.0010423107729771175

多次元、多峰性に対する圧倒的な対応力。完璧に調整されています。

実問題において、Rasriginほどの多峰性をもつ問題はめったにありません。どんな問題が来てもvcoptがあれば対応できると思います。

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